作者：黃云1,2，桂林1，秦濤3，王(wang)文璽1,2，鄒(zou)萊1,2，李恒1?

       作者單位：1. 重(zhong)慶(qing)大學 機(ji)(ji)械與運載工程學院，重(zhong)慶(qing) 400044；2. 高端裝備機(ji)(ji)械傳動全國(guo)重(zhong)點實驗室，重(zhong)慶(qing) 400044；3. 中國(guo)航(hang)發(fa)南京(jing)輕型(xing)航(hang)空動力有限公司，江蘇 南京(jing) 211100

       收稿(gao)日期：2023-11-01

       基金項目：重慶市自然科學基金創新群體項目（CSTC2019JCYJ-CXTTX0003），Innovation Group Science Fund of Chongqing Natural Sci?ence Foundation（CSTC2019JCYJ-CXTTX0003）；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目（2023CDJXY-022），Fundamental Research Funds for the Central Universities（2023CDJXY-022）；重慶市研究生科研創新項目（CYB23021），Chongqing Graduate Research Innovation Project （CYB23021）

       作者簡介：黃云（1962―），男(nan)，重慶萬州人(ren)，重慶大學教授，博士生導師

       通信(xin)聯系人，E-mail：Heng.Li@cqu.edu.cn

       摘要

       本文提出了一種面向葉片前緣廓形精準控制的機器人砂帶磨削加工方法. 以軸流壓氣機葉片為研究對象，結合半赫茲接觸理論和有限元仿真獲取了柔性磨具和葉片前緣的接觸區域內的應力分布，基于Preston方程求解材料去除函數. 遍歷刀位點對控制點的磨削深度，建立全局材料去除矩陣，搭建駐留時間求解非線性方程組. 采用帶有阻尼因子的Tikhonov正則化消除大型稀疏病態矩陣對求解精度波動的影響，將所求駐留時間轉換為對應刀位點的進給速度，生成機器人加工代碼. 磨削試驗結果表明，基于駐留時間控制的機器人砂帶磨削方法能夠實現給定允差范圍內葉片前緣廓形的精準加工，型面誤差可以控制在0.02 mm以內.

       關鍵詞：壓氣機；砂帶；柔性磨削；前緣廓形；駐留時間

       引言

       航空發(fa)(fa)動機(ji)(ji)是(shi)飛機(ji)(ji)的核(he)心部件(jian)之(zhi)一，直(zhi)接關系到飛機(ji)(ji)的性能(neng)和安全，不(bu)僅是(shi)國(guo)家(jia)重點發(fa)(fa)展領(ling)域(yu)之(zhi)一，也是(shi)推動國(guo)家(jia)經濟、科技和軍事發(fa)(fa)展的重要引(yin)擎之(zhi)一［1］. 葉片(pian)(pian)前緣的加工直(zhi)接決定了葉片(pian)(pian)的氣(qi)動性能(neng)和服役壽命，然(ran)而葉片(pian)(pian)前緣部分由于曲(qu)率(lv)變化(hua)劇(ju)烈(lie)、剛性差(cha)且(qie)彎(wan)曲(qu)和扭曲(qu)程度大(da)，并且(qie)使用的鈦合金材料導熱(re)系數低、彈性模量小，屬于典型的難加工部位， 對實現(xian)葉片(pian)(pian)的精(jing)密磨削(xue)帶來(lai)了極大(da)的挑戰［2-5］.

       砂帶磨削是一種柔性加工方法，兼具磨削和拋光功能(neng) . 它具有(you)高(gao)效切(qie)割、冷態(tai)磨(mo)削(xue)、靈活工(gong)(gong)藝性和(he)廣泛適應(ying)性等諸多(duo)優點 . 因(yin)此(ci)砂帶磨(mo)削(xue)被廣泛用于精密磨(mo)削(xue)加工(gong)(gong)復(fu)雜自由曲面(mian)，尤其在(zai)葉(xie)(xie)片(pian)加工(gong)(gong)中(zhong)發揮著重要作用. 它是(shi)提(ti)高(gao)葉(xie)(xie)片(pian)型面(mian)精度、表面(mian)完整(zheng)性和(he)加工(gong)(gong)一(yi)(yi)致性的(de)(de)(de)有(you)效方(fang)法(fa)之一(yi)(yi) . 面(mian)對(dui)(dui)(dui)余量(liang)分(fen)布不(bu)均(jun)(jun)的(de)(de)(de)葉(xie)(xie)片(pian)加工(gong)(gong)，需要精確的(de)(de)(de)材料去除函數來開展工(gong)(gong)藝參與(yu)規(gui)劃，眾多(duo)學者對(dui)(dui)(dui)此(ci)做出(chu)(chu)了大(da)量(liang)的(de)(de)(de)研究(jiu) . Guo等［6］針對(dui)(dui)(dui)葉(xie)(xie)片(pian)前尾緣(yuan)的(de)(de)(de)多(duo)余材料去除問題提(ti)出(chu)(chu)通過(guo)構(gou)建臨時引導(dao)模型來指(zhi)導(dao)加工(gong)(gong)過(guo)程(cheng) . Wan 等［7］利用公差帶來提(ti)高(gao)葉(xie)(xie)片(pian)定位(wei)能(neng)力(li)以避免葉(xie)(xie)片(pian)出(chu)(chu)現(xian)過(guo)磨(mo) .Wang 等［8］采用非接(jie)觸式(shi)冷加工(gong)(gong)方(fang)法(fa)，針對(dui)(dui)(dui)葉(xie)(xie)片(pian)前緣(yuan)難加工(gong)(gong)問題進(jin)行(xing)了電解加工(gong)(gong)葉(xie)(xie)片(pian)邊緣(yuan)的(de)(de)(de)嘗試，通過(guo)陰極的(de)(de)(de)刀(dao)具沿葉(xie)(xie)片(pian)平均(jun)(jun)弧度線切(qie)向(xiang)進(jin)給(gei)，對(dui)(dui)(dui)葉(xie)(xie)片(pian)前、后緣(yuan)進(jin)行(xing)電化學加工(gong)(gong) . Mu等［9］在(zai)葉(xie)(xie)片(pian)加工(gong)(gong)穩定性方(fang)面(mian)進(jin)行(xing)研究(jiu)，通過(guo)機(ji)器人七(qi)軸聯動砂帶磨(mo)削(xue)系統的(de)(de)(de)區(qu)域力(li)控來實(shi)現(xian)加工(gong)(gong)過(guo)程(cheng)中(zhong)接(jie)觸力(li)的(de)(de)(de)實(shi)時控制(zhi)(zhi)并減少每(mei)個區(qu)域的(de)(de)(de)力(li)信(xin)號(hao)波動 . Sarma 等［10］針對(dui)(dui)(dui)數控磨(mo)削(xue)加工(gong)(gong)道路軌跡(ji)生(sheng)成(cheng)進(jin)行(xing)了研究(jiu)，提(ti)出(chu)(chu)了一(yi)(yi)種綜合考慮制(zhi)(zhi)造與(yu)測量(liang)的(de)(de)(de)軌跡(ji)生(sheng)成(cheng)方(fang)法(fa).

       當前(qian)學(xue)者針對(dui)壓氣機(ji)葉(xie)片邊(bian)緣(yuan)的(de)(de)(de)精(jing)準去除已經開展了(le)全面而深(shen)入(ru)的(de)(de)(de)研究，揭示了(le)加工(gong)工(gong)藝參數(shu)與材(cai)料去除之間的(de)(de)(de)緊密(mi)聯系 . 但是(shi)由于(yu)(yu)過去的(de)(de)(de)研究都是(shi)逐點(dian)調控，無法解(jie)決砂(sha)帶柔性磨(mo)削接觸(chu)面積大(da)、刀位(wei)點(dian)之間干涉嚴重的(de)(de)(de)現象，而計算機(ji)控制(zhi)光學(xue)表面形成中(zhong)常用的(de)(de)(de)駐(zhu)留時(shi)間控制(zhi)加工(gong)方法，作為一種全局求解(jie)的(de)(de)(de)方法能很(hen)好地解(jie)決這類問題. 因此，本(ben)文(wen)根據 Abaqus仿真分析獲(huo)得(de)接觸(chu)區(qu)域(yu)(yu)的(de)(de)(de)應(ying)力分布，代入(ru)半赫茲接觸(chu)中(zhong)并對(dui)結果進行修正，通過 Preston 方程建(jian)立對(dui)應(ying)區(qu)域(yu)(yu)的(de)(de)(de)去除函(han)數(shu)模型(xing)；基于(yu)(yu)全局求解(jie)的(de)(de)(de)思(si)想，在葉(xie)片表面引入(ru)控制(zhi)點(dian)和(he)駐(zhu)留點(dian)，通過遍(bian)歷駐(zhu)留點(dian)和(he)控制(zhi)點(dian)的(de)(de)(de)方式獲(huo)取(qu)砂(sha)帶柔性磨(mo)削的(de)(de)(de)加工(gong)軌跡(ji)，考(kao)慮了(le)加工(gong)時(shi)對(dui)相(xiang)鄰刀位(wei)點(dian)的(de)(de)(de)影響，更(geng)符合砂(sha)帶柔性磨(mo)削加工(gong)的(de)(de)(de)特(te)點(dian).

       1葉片前緣去除函數建模

       1.1 Abaqus接觸狀態(tai)有限(xian)元仿真(zhen)

       利用(yong)有限(xian)元仿真軟件 Abaqus 對葉(xie)(xie)片(pian)前緣和柔性磨具進行接觸狀態的(de)仿真研究 . 首先將葉(xie)(xie)片(pian)的(de)三維模(mo)(mo)型導入(ru) Abaqus，葉(xie)(xie)片(pian)模(mo)(mo)型材(cai)料為鋁合(he)金(jin)，采用(yong)Johnson-Cook（JC）本構損傷模(mo)(mo)型［11］模(mo)(mo)擬加工葉(xie)(xie)片(pian)時材(cai)料的(de)失(shi)效狀態. 鋁合(he)金(jin)材(cai)料屬性如表1所示.

       考慮到有效接(jie)觸區域以及減小仿真試驗(yan)的(de)計算(suan)壓力，接(jie)觸輪模型只取了 5% 區域，柔性磨具的(de)材料(liao)采用制備接(jie)觸輪的(de)丁腈(jing)橡膠 . 橡膠材料(liao)仿真參數如表 2所示，橡膠材料(liao)屬于(yu)(yu)超彈性材料(liao)，且(qie)本(ben)次仿真試驗(yan)屬于(yu)(yu)小變(bian)形(xing)的(de)加工范圍(wei)，故采用橡膠材料(liao)常用的(de)Mooney-Rivlin應力-應變(bian)本(ben)構模型［12］表示.     

       式中：H為(wei)超彈(dan)性材(cai)料(liao)橡(xiang)膠(jiao)的應變能密度；T1、T2表示(shi)變形張量不(bu)變量；C10、C01表示(shi)橡(xiang)膠(jiao)材(cai)料(liao)硬度有關的材(cai)料(liao)彈(dan)性系數.

       根(gen)據實際加(jia)工需求，對葉片施(shi)加(jia)了(le)榫頭部(bu)分(fen)的(de)單端固定約束，接(jie)觸(chu)(chu)輪沿葉片邊緣施(shi)加(jia)垂直于葉片的(de)法(fa)向力(li)，網格采用(yong)的(de)是(shi)以六面體為(wei)主的(de)C3D8過渡(du)網格，中(zhong)(zhong)間加(jia)密處的(de)網格單元尺寸為(wei) 0.2，通過觀察接(jie)觸(chu)(chu)部(bu)分(fen)的(de)應力(li)變化(hua)并對其進(jin)行(xing)分(fen)析，該模(mo)型(xing)能夠(gou)準確(que)反(fan)映材料在高應變速率下的(de)變形行(xing)為(wei)，進(jin)而為(wei)后續(xu)研究中(zhong)(zhong)建立材料去除(chu)模(mo)型(xing)提供接(jie)觸(chu)(chu)區域的(de)應力(li)分(fen)布.

       由于砂帶(dai)相對于接(jie)(jie)(jie)(jie)觸(chu)(chu)輪(lun)厚(hou)度很(hen)薄并且(qie)產生的(de)變形(xing)不明顯，在(zai)分(fen)(fen)析(xi)接(jie)(jie)(jie)(jie)觸(chu)(chu)部分(fen)(fen)的(de)應(ying)力(li)(li)(li)變化中影響很(hen)小(xiao)(xiao)，因此(ci)在(zai) Abaqus 中做(zuo)了(le)簡化處理 . 當下壓量為 3 mm時，Abaqus仿真(zhen)下接(jie)(jie)(jie)(jie)觸(chu)(chu)輪(lun)受力(li)(li)(li)圖如圖1所(suo)示，接(jie)(jie)(jie)(jie)觸(chu)(chu)輪(lun)與前緣接(jie)(jie)(jie)(jie)觸(chu)(chu)后發(fa)生了(le)非線性(xing)彈性(xing)變形(xing)，在(zai)接(jie)(jie)(jie)(jie)觸(chu)(chu)區域形(xing)成應(ying)力(li)(li)(li)集(ji)中，接(jie)(jie)(jie)(jie)觸(chu)(chu)區域兩側的(de)應(ying)力(li)(li)(li)隨著(zhu)距(ju)離接(jie)(jie)(jie)(jie)觸(chu)(chu)中心增(zeng)大而(er)減小(xiao)(xiao) . 接(jie)(jie)(jie)(jie)觸(chu)(chu)輪(lun)不同截面的(de)應(ying)力(li)(li)(li)分(fen)(fen)布曲(qu)線如圖2所(suo)示，等(deng)效應(ying)力(li)(li)(li)狀(zhuang)態(tai)云(yun)圖近似于正態(tai)分(fen)(fen)布.

       1.2 建立葉片前緣材料去除模型

       Preston方(fang)程是(shi)被廣泛應用并被證實具有很高(gao)可信(xin)度的經驗(yan)公(gong)式. 此(ci)方(fang)程是(shi)由Preston［13］在1927年提出的，即(ji)

       式中：dz/dt表示刀位點單位時間內的去除量；k 為比例系數，由除了接觸壓力p和瞬時相對速度v以外的影響因素共同決定，如磨料類型、工件材料等 . 根據Preston方程可以推導出在加工點（x，y）處停留時間T對應的材料去除量：

       根據式（2）可推出對應葉片邊緣上任一點的去除函數為：

       式中：H（x，y）表示在設定刀位點處的材料去除率.在實際葉片前緣加工過程中，在多種不同的接觸狀態 接觸輪與工件存，如圖 3和圖4 所示 . 圖 3 中R0為接觸輪半徑，l0為橡膠輪寬度，d0為接觸區域的彈性變形高度，Fn表示加工葉片的軸向力，Ft表示工件受到的接觸反力. 根據赫茲接觸理論［14］，當兩個物體接觸并壓緊時，初始接觸點附近的材料會發生局部變形. 彈性接觸理論基于以下假設：①接觸物體只產生彈性變形，并符合胡克定律；②接觸力垂直于接觸面；③接觸面的尺寸遠小于接觸物體表面.

       在(zai)(zai)接觸(chu)(chu)(chu)輪(lun)與(yu)葉片的接觸(chu)(chu)(chu)中，邊緣處的材(cai)料去(qu)除量較小，接觸(chu)(chu)(chu)輪(lun)始終保(bao)持彈(dan)性(xing)接觸(chu)(chu)(chu)狀態(tai). 在(zai)(zai)砂帶磨削(xue)過程中，當砂帶繞回轉(zhuan)中心O點勻(yun)速轉(zhuan)動時，可以(yi)將砂帶和接觸(chu)(chu)(chu)輪(lun)視為一個完整的整體，接觸(chu)(chu)(chu)輪(lun)與(yu)前(qian)緣之間存在(zai)(zai)方(fang)向接觸(chu)(chu)(chu)力，前(qian)兩(liang)個條(tiao)件符合赫(he)茲(zi)接觸(chu)(chu)(chu)理論，由(you)于(yu)葉片前(qian)緣部分(fen)曲率(lv)變化(hua)大，本文采用半赫(he)茲(zi)接觸(chu)(chu)(chu)理論求解接觸(chu)(chu)(chu)應力分(fen)布(bu)模型.

       半(ban)赫(he)(he)(he)(he)(he)茲(zi)(zi)(zi)接(jie)(jie)(jie)(jie)觸(chu)(chu)是由Ayasse等(deng)［15］在赫(he)(he)(he)(he)(he)茲(zi)(zi)(zi)接(jie)(jie)(jie)(jie)觸(chu)(chu)的(de)基(ji)礎上提出(chu)的(de)運用(yong)于曲(qu)(qu)率變化(hua)(hua)(hua)大時的(de)求解方(fang)法(fa)，即在曲(qu)(qu)率變化(hua)(hua)(hua)小的(de)方(fang)向仍(reng)然(ran)引用(yong)赫(he)(he)(he)(he)(he)茲(zi)(zi)(zi)接(jie)(jie)(jie)(jie)觸(chu)(chu)理論，而在接(jie)(jie)(jie)(jie)區(qu)域曲(qu)(qu)率變化(hua)(hua)(hua)大的(de)方(fang)向上不(bu)再采用(yong)赫(he)(he)(he)(he)(he)茲(zi)(zi)(zi)接(jie)(jie)(jie)(jie)觸(chu)(chu)理論，其基(ji)于接(jie)(jie)(jie)(jie)觸(chu)(chu)輪與葉片前緣的(de)虛(xu)擬穿(chuan)(chuan)透(tou)來對接(jie)(jie)(jie)(jie)觸(chu)(chu)區(qu)域進行(xing)快速確定. Ma等(deng)［16］假設車輪和(he)鋼(gang)軌(gui)不(bu)發生(sheng)彈(dan)性變形，采用(yong)半(ban)赫(he)(he)(he)(he)(he)茲(zi)(zi)(zi)接(jie)(jie)(jie)(jie)觸(chu)(chu)的(de)虛(xu)擬穿(chuan)(chuan)透(tou)法(fa)測定了(le)(le)輪軌(gui)接(jie)(jie)(jie)(jie)觸(chu)(chu)區(qu)域的(de)接(jie)(jie)(jie)(jie)觸(chu)(chu)斑塊(kuai)并建(jian)立了(le)(le)對應的(de)輪軌(gui)接(jie)(jie)(jie)(jie)觸(chu)(chu)模型 .半(ban)赫(he)(he)(he)(he)(he)茲(zi)(zi)(zi)接(jie)(jie)(jie)(jie)觸(chu)(chu)可以(yi)有(you)(you)效地解決(jue)某些赫(he)(he)(he)(he)(he)茲(zi)(zi)(zi)接(jie)(jie)(jie)(jie)觸(chu)(chu)不(bu)適用(yong)的(de)情況，如圖 5 和(he)圖 6 所示，接(jie)(jie)(jie)(jie)觸(chu)(chu)輪與葉片前緣廓形接(jie)(jie)(jie)(jie)觸(chu)(chu)時，其曲(qu)(qu)率不(bu)斷發生(sheng)變化(hua)(hua)(hua)，因此使用(yong)半(ban)赫(he)(he)(he)(he)(he)茲(zi)(zi)(zi)接(jie)(jie)(jie)(jie)觸(chu)(chu)理論對于解決(jue)本文(wen)研究的(de)砂帶磨削葉片前緣問題具有(you)(you)充足的(de)合(he)理性.

       接(jie)觸輪加工葉(xie)片(pian)前緣時(shi)，半(ban)赫茲接(jie)觸示(shi)意圖如圖 7 所(suo)示(shi)，在接(jie)觸區域內沿(yan)著葉(xie)片(pian)曲率變化方向將其劃分(fen)(fen)為 n 個(ge)條帶(dai)，帶(dai)寬為 Δx，擁有(you)最(zui)大高度 H0的條帶(dai)稱(cheng)為母帶(dai)，對應的長、短(duan)軸曲率分(fen)(fen)別為 A0、B0，半(ban)軸長a和b分(fen)(fen)別為：

       式中：n為(wei)(wei)橢圓半軸系(xi)數；r為(wei)(wei)彈(dan)性趨近(jin)量；E*為(wei)(wei)等效彈(dan)性模量；ai為(wei)(wei)每(mei)一(yi)個條(tiao)帶處的(de)曲(qu)率所對(dui)應(ying)的(de)長(chang)半軸；δi為(wei)(wei)每(mei)一(yi)個條(tiao)帶處的(de)曲(qu)率所對(dui)應(ying)的(de)干涉(she)深度(du)；ε為(wei)(wei)修正系(xi)數（針對(dui)x軸方向曲(qu)率不變）.

       通過 Abaqus 有限元仿真中接觸區域的應力分布，結合課題組自行開發的 CAM 軟件離散待加工葉片的前緣部分，提取加工路徑點 u、v向的曲率 . 根據前緣的曲面特征，沿著葉片邊緣方向（u向）的曲率可近似看作不變，提取曲率變化大的方向（v向）的曲率值，代入式       （4）和式（5）即可求得葉片前緣的應力分布值，進而通過邊緣處應力分布求解該區域的材料去除深度.

       2駐留時間預規劃

       2.1 搭建葉片前緣全局材料(liao)去除矩陣

       在(zai)第(di) 1 節(jie)中(zhong)，建立了一個葉(xie)(xie)片(pian)前緣(yuan)(yuan)部分的(de)(de)材料去除(chu)模(mo)型(xing)，該(gai)模(mo)型(xing)采用(yong)(yong)修正的(de)(de) Preston 方程(cheng)并結合Abaqus有限(xian)元(yuan)仿真(zhen) . 本節(jie)將針(zhen)對(dui)葉(xie)(xie)片(pian)前緣(yuan)(yuan)曲(qu)率變化大和(he)(he)難(nan)加工的(de)(de)特(te)點(dian)(dian)(dian)(dian)，通(tong)(tong)過軌跡規(gui)劃(hua)的(de)(de)方法來實現對(dui)前緣(yuan)(yuan)廓(kuo)形(xing)的(de)(de)加工.首(shou)先對(dui)于曲(qu)面(mian)復雜的(de)(de)前緣(yuan)(yuan)廓(kuo)形(xing)，通(tong)(tong)過對(dui)比藍光掃描的(de)(de)待(dai)加工葉(xie)(xie)片(pian)前緣(yuan)(yuan)點(dian)(dian)(dian)(dian)云模(mo)型(xing)和(he)(he)理(li)論數模(mo)獲取葉(xie)(xie)片(pian)前緣(yuan)(yuan)的(de)(de)加工余(yu)量(liang) . 為(wei)了解決砂(sha)(sha)帶柔性磨削接觸面(mian)積(ji)大和(he)(he)刀(dao)位點(dian)(dian)(dian)(dian)之間(jian)干涉嚴重的(de)(de)問題(ti)，本文提出在(zai)葉(xie)(xie)片(pian)待(dai)加工表面(mian)上(shang)引入控(kong)制(zhi)點(dian)(dian)(dian)(dian)和(he)(he)駐(zhu)留(liu)(liu)點(dian)(dian)(dian)(dian)，每個控(kong)制(zhi)點(dian)(dian)(dian)(dian)對(dui)應(ying)著待(dai)加工表面(mian)上(shang)相(xiang)應(ying)點(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)余(yu)量(liang)，而駐(zhu)留(liu)(liu)點(dian)(dian)(dian)(dian)則(ze)是機(ji)器(qi)人砂(sha)(sha)帶磨削時走刀(dao)的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)位，通(tong)(tong)過遍歷(li)駐(zhu)留(liu)(liu)點(dian)(dian)(dian)(dian)和(he)(he)控(kong)制(zhi)點(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)方式，以(yi)(yi)精準去除(chu)控(kong)制(zhi)點(dian)(dian)(dian)(dian)對(dui)應(ying)余(yu)量(liang)為(wei)目標(biao)進(jin)行基于駐(zhu)留(liu)(liu)時間(jian)的(de)(de)軌跡規(gui)劃(hua) . 這一軌跡規(gui)劃(hua)過程(cheng)可以(yi)(yi)用(yong)(yong)對(dui)應(ying)的(de)(de)矩陣(zhen)形(xing)式表示：

       式中：R為去除函數矩陣，Rm，n表示的是接觸輪在第n個駐留點時對第m個控制點的去除量；t為駐留時間矩陣；b為殘余誤差矩陣.

       航空發動機葉(xie)(xie)片(pian)(pian)加(jia)工(gong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)要求(qiu)是(shi)將待加(jia)工(gong)葉(xie)(xie)片(pian)(pian)與(yu)(yu)(yu)理(li)論(lun)廓形之間的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)殘余誤差 E 控(kong)制(zhi)(zhi)在公差范(fan)圍內 . 利(li)用駐留(liu)時(shi)間去(qu)(qu)(qu)(qu)除(chu)葉(xie)(xie)片(pian)(pian)邊緣余量的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)原理(li)是(shi)將待加(jia)工(gong)葉(xie)(xie)片(pian)(pian)與(yu)(yu)(yu)理(li)論(lun)廓形之間的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)殘余誤差 E 作為目標函數(shu)，去(qu)(qu)(qu)(qu)除(chu)函數(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)第n行R（n，：）表示葉(xie)(xie)片(pian)(pian)邊緣所有駐留(liu)點(dian)(dian)對(dui)第n個(ge)控(kong)制(zhi)(zhi)點(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)去(qu)(qu)(qu)(qu)除(chu)能(neng)力 . 將 R（n，：）與(yu)(yu)(yu)對(dui)應(ying)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de) tn相乘，可以(yi)得到葉(xie)(xie)片(pian)(pian)所有駐留(liu)點(dian)(dian)對(dui)第 ;n 個(ge)控(kong)制(zhi)(zhi)點(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)去(qu)(qu)(qu)(qu)除(chu)總量. 相對(dui)于常規加(jia)工(gong)方法，這種方法的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)優(you)勢(shi)在于它(ta)不(bu)僅考慮(lv)了(le)接觸點(dian)(dian)處的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)材(cai)料去(qu)(qu)(qu)(qu)除(chu)，還考慮(lv)了(le)對(dui)磨(mo)削范(fan)圍內其他控(kong)制(zhi)(zhi)點(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)去(qu)(qu)(qu)(qu)除(chu)能(neng)力. 此(ci)外，通過(guo)調整(zheng)駐留(liu)點(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)疏密程(cheng)度，合實際工(gong)程(cheng)應(ying)用 可以(yi)控(kong)制(zhi)(zhi)加(jia)工(gong)表面的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)精度，使其更加(jia)符合實際工(gong)程(cheng)應(ying)用.

       獲取去除函數矩陣 R 前(qian)，由于葉片邊緣曲率變化大，并(bing)不像平面一(yi)樣可(ke)以(yi)直接(jie)判(pan)斷(duan)控(kong)制點(dian)(dian)(dian)是否位于駐留(liu)點(dian)(dian)(dian)的(de)(de)接(jie)觸范圍之(zhi)內，需(xu)要對此作出適當(dang)的(de)(de)處理. 加工路徑上的(de)(de)接(jie)觸判(pan)斷(duan)圖如圖8所(suo)示(shi).本文以(yi)任一(yi)駐留(liu)點(dian)(dian)(dian)為原點(dian)(dian)(dian)，求出當(dang)前(qian)駐留(liu)點(dian)(dian)(dian)的(de)(de)切平面和法矢，以(yi)指向(xiang)下一(yi)個(ge)(ge)駐留(liu)點(dian)(dian)(dian)的(de)(de)方向(xiang)為x軸(zhou)，法矢和x方向(xiang)的(de)(de)叉乘(cheng)作為y軸(zhou)，建立一(yi)個(ge)(ge)新的(de)(de)局部坐(zuo)(zuo)標系(xi).在(zai)新的(de)(de)坐(zuo)(zuo)標系(xi)下以(yi)x、y軸(zhou)作為投(tou)影平面將(jiang)所(suo)有(you)控(kong)制點(dian)(dian)(dian)投(tou)影到(dao)該平面上，再通過式（8）的(de)(de)坐(zuo)(zuo)標變換矩陣G得(de)到(dao)所(suo)有(you)控(kong)制點(dian)(dian)(dian)在(zai)局部坐(zuo)(zuo)標系(xi)下的(de)(de)坐(zuo)(zuo)標.

       式中：（xc，yc，zc）表示駐留點在世界坐標系下的三坐標；（xx，yx，zx）、（xy，yy，zy）和（xz，yz，zz）分別表示局部坐標系下的 X、Y、Z 坐標軸在實際坐標系下的三坐標形式.率法矢夾角小于 控制點在局部坐標系 X 方向的坐標（篩選主曲90°的坐標）如圖9所示.

       本文引入篩選矩陣Q，它由法矢篩選矩陣QA和橢圓接觸篩選矩陣QB組成.由于葉片前緣的曲率變化很大，如果僅按照投影到局部坐標系下的坐標進行橢圓接觸判定，會導致一些控制點無法被正確判定為接觸到.

       因此，根據實際(ji)加(jia)工情況(kuang)設置了一(yi)(yi)個判定(ding)控(kong)制點和(he)駐(zhu)留點之間法矢夾角(jiao)的(de)條件；然后，通過(guo)橢圓接觸篩選(xuan)(xuan)矩(ju)陣(zhen) QB進行(xing)二次篩選(xuan)(xuan)，并將篩選(xuan)(xuan)后的(de)投影坐標代入(ru)先前求得的(de)材料(liao)去(qu)(qu)除模型(xing)中，得到一(yi)(yi)行(xing)的(de)去(qu)(qu)除函(han)數(shu)矩(ju)陣(zhen). 通過(guo)對每一(yi)(yi)個駐(zhu)留點進行(xing)遍(bian)歷(li)，最終可以得到去(qu)(qu)除函(han)數(shu)矩(ju)陣(zhen)R.

       2.2 駐留時間的求解

       R（m，n）矩陣(zhen)(zhen)的(de)每(mei)一列表示的(de)是(shi)路徑上砂帶在(zai)每(mei)一個(ge)駐留點(dian)(dian)時(shi)對該控(kong)制點(dian)(dian)的(de)單位時(shi)間材料去除(chu)率. 為(wei)了(le)保證(zheng)加工精(jing)度(du)，控(kong)制點(dian)(dian)的(de)數(shu)量(liang)一般是(shi)遠(yuan)遠(yuan)大(da)于駐留點(dian)(dian)的(de)數(shu)量(liang)，并且由(you)(you)于接觸輪的(de)接觸區域相對于工件較小，去除(chu)函數(shu)矩陣(zhen)(zhen) R 是(shi)一個(ge)大(da)型(xing)的(de)稀(xi)疏矩陣(zhen)(zhen). 由(you)(you)于該稀(xi)疏矩陣(zhen)(zhen)往往是(shi)個(ge)病(bing)態矩陣(zhen)(zhen)，向量(liang)行數(shu)m遠(yuan)大(da)于列數(shu) n，因(yin)此無法(fa)獲取精(jing)確解，眾(zhong)多(duo)學者從奇(qi)異值分解、最小二(er)乘正交分解法(fa)（Least Squares QR-Factorization Method，LSQR）、二(er)次規劃尋優等多(duo)種角度(du)進行研究和優化(hua)，在(zai)實際應(ying)用(yong)中(zhong)，加工前緣(yuan)并非(fei)需(xu)要精(jing)確解，大(da)多(duo)數(shu)情況下，   LSQR 和 Tikhonov 正則化(hua)下的(de)解即可滿足加工要求(qiu).

       大型稀疏矩陣(zhen)(zhen)往(wang)往(wang)是病態矩陣(zhen)(zhen)，LSQR算法并不(bu)是直接求出最優(you)解 x，而(er)是遵守最小(xiao)二乘(cheng)原則，在限(xian)定的(de)空間中尋(xun)找最優(you)解. 主要為求解式（9）的(de)線性方程組，且保證(zheng)其(qi)二階殘(can)差范數最小(xiao). 

       Tikhonov 正(zheng)則化則是從提高解的(de)(de)(de)穩定性和減少(shao)駐(zhu)(zhu)留總時(shi)(shi)間的(de)(de)(de)角(jiao)度出(chu)發(fa)，對(dui)去除函數矩(ju)陣(zhen) R 進行正(zheng)則化處理，以(yi)優化駐(zhu)(zhu)留時(shi)(shi)間 t. 在去除函數矩(ju)陣(zhen) R 中引(yin)入(ru)一個(ge)數量陣(zhen)T，數量陣(zhen)T引(yin)入(ru)的(de)(de)(de)阻尼因子(zi)w表(biao)示(shi)駐(zhu)(zhu)留點密度與表(biao)面(mian)誤差間的(de)(de)(de)權(quan)重(zhong)關(guan)系，理論上(shang) w 的(de)(de)(de)取值(zhi)(zhi)區間為［0，+∞），但w的(de)(de)(de)值(zhi)(zhi)越(yue)小，取得(de)非(fei)負駐(zhu)(zhu)留時(shi)(shi)間的(de)(de)(de)可能性越(yue)小；而當(dang)w的(de)(de)(de)值(zhi)(zhi)越(yue)大(da)時(shi)(shi)，加工后的(de)(de)(de)表(biao)面(mian)誤差也就越(yue)大(da). 矩(ju)陣(zhen)如式（10）所示(shi)

       數(shu)(shu)量(liang)陣(zhen) T 將(jiang)去除(chu)函數(shu)(shu)矩(ju)陣(zhen) R 由 m 行(xing)(xing) n 列(lie)擴展為（m+n）行(xing)(xing)n列(lie)的矩(ju)陣(zhen)RW，同(tong)時將(jiang)加工余量(liang)列(lie)向量(liang)b補充(chong) 0 以 擴 充(chong) 成（m+n）維，基(ji) 于 式（6）和 改(gai) 進 后 的式（11），將(jiang)最小(xiao)二乘(cheng)問題(ti)轉換成虧秩(zhi)矩(ju)陣(zhen)的求解(jie)問題(ti).

       合(he)理地選(xuan)擇阻(zu)尼因(yin)子(zi) w 的值，以保證葉片前緣廓(kuo)形高精度的同時，符(fu)合(he)實際加(jia)工特(te)點是(shi) Tikhonov正則化的關鍵所在. 去除函數矩陣R如圖10所示.

       2.3 仿真(zhen)驗證

 ;      為了確定基(ji)于駐留時(shi)間加(jia)工葉(xie)片(pian)前緣的(de)可能(neng)性和尋找合適的(de)阻尼因子w，本文(wen)以最終型(xing)面(mian)誤(wu)差E和駐留總(zong)時(shi)間 Tsum為優(you)化(hua)方向設計(ji)了 Tikhonov 正(zheng)則化(hua)的(de)仿(fang)真(zhen)試驗 . 葉(xie)片(pian)前緣駐留點(dian)和控(kong)制(zhi)點(dian)示意圖如(ru)圖11所示.

       由圖(tu)(tu) 11 可知(zhi)，在葉(xie)片(pian)(pian)前(qian)緣處(chu)(chu)提取 300 個駐留點(dian)(dian)（紅色點(dian)(dian)集(ji)）和 1 600 個控制點(dian)(dian)（綠色點(dian)(dian)集(ji)）作為本次仿真試驗的(de)對象 . 本文通過反復(fu)迭代調整(zheng) Tikhonov正(zheng)則化(hua)(hua)(hua)中阻尼(ni)因子 w 的(de)值，最終選定 w 取 0.4 時最佳 . 圖(tu)(tu) 12對比(bi)(bi)了未加(jia)工的(de)葉(xie)片(pian)(pian)前(qian)緣（Origin）在 LSQR算(suan)法(fa)和Tikhonov正(zheng)則化(hua)(hua)(hua)下(xia)(xia)(xia)的(de)最終型(xing)面(mian)(mian)誤差(cha)(cha)E.由圖(tu)(tu)12可以(yi)明顯看(kan)出，2種(zhong)算(suan)法(fa)下(xia)(xia)(xia)葉(xie)片(pian)(pian)前(qian)緣的(de)加(jia)工余量都有所減小(xiao)，相比(bi)(bi)較而言，LSQR 算(suan)法(fa)的(de)去(qu)除率(lv)在全控制點(dian)(dian)下(xia)(xia)(xia)約為64.6%，Tikhonov正(zheng)則化(hua)(hua)(hua)的(de)去(qu)除率(lv)在全控制點(dian)(dian)下(xia)(xia)(xia)約為93.6%，因此(ci)采用Tikhonov正(zheng)則化(hua)(hua)(hua)算(suan)法(fa)下(xia)(xia)(xia)葉(xie)片(pian)(pian)前(qian)緣處(chu)(chu)的(de)型(xing)面(mian)(mian)誤差(cha)(cha) E 有著顯著減小(xiao)，并且葉(xie)型(xing)趨(qu)近于理論廓形.

       3實驗驗證

       第(di)2節通(tong)過 MATLAB 的仿真試驗證明了優(you)化葉片(pian)前緣廓形(xing)的可行性，本節通(tong)過實驗驗證基于(yu)駐留時(shi)間的前緣軌跡規劃(hua)在砂帶磨(mo)削加工中(zhong)的有效(xiao)性.

       本實驗(yan)采(cai)用的(de)(de)是(shi)如圖 13 所(suo)示(shi)的(de)(de)團隊(dui)自行搭建的(de)(de)機器人(ren)(ren)砂帶磨(mo)削平臺，該系統主(zhu)要(yao)由(you)工(gong)業(ye)機器人(ren)(ren)、橡膠接觸(chu)輪、砂帶、力(li)傳(chuan)感器和ACF恒力(li)浮動裝(zhuang)置(zhi)組(zu)成 . 采(cai)用 Fanuc 工(gong)業(ye)機器人(ren)(ren)（M-710IC/50）作為運(yun)動載(zai)體夾持葉片，磨(mo)削力(li)由(you)磨(mo)具端的(de)(de) ACF 恒力(li)浮動打磨(mo)裝(zhuang)置(zhi)（精度(du) 0.1 N）控制(zhi)，磨(mo)削實驗(yan)使(shi)用 3M 公司生產(chan)的(de)(de)粒度(du)為A6（P2000）的(de)(de)237AA金字塔堆積(ji)磨(mo)料砂帶，線速(su)度(du)為 10 m/s，法向磨(mo)削力(li)為 5 N. 根據駐留(liu)時間 ti，j和兩個駐留(liu)點間的(de)(de)步長 hi-1j和 hi，j可以(yi)計算出Fanuc機器人(ren)(ren)的(de)(de)進給速(su)度(du)vi，j，如式(shi)（12）所(suo)示(shi).

       圖(tu) 14（a）為(wei)(wei)未加(jia)工的葉(xie)片(pian)實物(wu)圖(tu)，圖(tu) 14（b）為(wei)(wei)基(ji)于駐留時(shi)間調控(kong)的對(dui)前緣5%~95%葉(xie)高處進(jin)行磨削加(jia)工后的葉(xie)片(pian).

        通過(guo)對比磨(mo)削(xue)前(qian)(qian)、后的葉(xie)(xie)片(pian)前(qian)(qian)緣廓(kuo)形(xing)(xing)(xing)，可以(yi)明顯(xian)看出(chu)磨(mo)削(xue)后的葉(xie)(xie)片(pian)邊緣更加光(guang)順，表面(mian)粗糙度(du)也有了(le)(le)顯(xian)著降(jiang)低. 采用GOM三(san)維藍光(guang)掃描儀對磨(mo)削(xue)后葉(xie)(xie)片(pian)進行檢測，將采集到的點云模(mo)型(xing)與理(li)論(lun)模(mo)型(xing)進行比對. 圖(tu)15為磨(mo)削(xue)后前(qian)(qian)緣不(bu)同截面(mian)輪廓(kuo)線(xian)(xian)(xian)和尺寸偏差(cha)，分別提取(qu)了(le)(le)葉(xie)(xie)高(gao)的30%、50%和70%葉(xie)(xie)片(pian)處截面(mian)廓(kuo)形(xing)(xing)(xing)，截面(mian)包含(han)了(le)(le)理(li)論(lun)廓(kuo)形(xing)(xing)(xing)（光(guang)滑彩色線(xian)(xian)(xian)條(tiao)）與其加工的公(gong)差(cha)帶(dai)（棕色區域），不(bu)規則(ze)曲線(xian)(xian)(xian)段為前(qian)(qian)緣的實際加工廓(kuo)形(xing)(xing)(xing)，兩(liang)曲線(xian)(xian)(xian)間(jian)的差(cha)值表示實際加工廓(kuo)形(xing)(xing)(xing)與理(li)論(lun)廓(kuo)形(xing)(xing)(xing)之(zhi)間(jian)的差(cha)距(ju) . 由圖(tu) 15 可以(yi)看出(chu)，葉(xie)(xie)片(pian)前(qian)(qian)緣廓(kuo)形(xing)(xing)(xing)誤差(cha)相較于未(wei)加工之(zhi)前(qian)(qian)有了(le)(le)明顯(xian)的減小，前(qian)(qian)緣廓(kuo)形(xing)(xing)(xing)線(xian)(xian)(xian)基本處于+0.03~-0.05 mm 的公(gong)差(cha)帶(dai)之(zhi)間(jian)，與理(li)論(lun)廓(kuo)形(xing)(xing)(xing)之(zhi)間(jian)的型(xing)面(mian)誤差(cha)E在0.02 mm以(yi)內.

       4結論

       本文(wen)針對壓(ya)氣機葉片前緣柔性磨(mo)削接觸狀態不(bu)明(ming)，廓形精度難控制的問(wen)題，制的砂帶磨(mo)削方法 提出了(le)基于駐留時間(jian)控，具體的研究結論如(ru)下：

       1）考慮葉(xie)片(pian)邊緣狹窄區域(yu)內(nei)曲率急變(bian)的(de)(de)特征，將半赫茲接(jie)觸理論引入柔性磨具和葉(xie)片(pian)邊緣的(de)(de)接(jie)觸問(wen)題(ti)求(qiu)解，初步求(qiu)解了(le)(le)接(jie)觸區域(yu)內(nei)的(de)(de)應力分(fen)(fen)布，通過Abaqus有(you)限元仿(fang)真(zhen)對接(jie)觸部分(fen)(fen)的(de)(de)應力分(fen)(fen)布曲線進行了(le)(le)驗證和修正(zheng)，基于獲取的(de)(de)應力分(fen)(fen)布和 Preston 方程(cheng)建立了(le)(le)葉(xie)片(pian)前(qian)緣的(de)(de)材(cai)料去除模型.

       2）基于材料去(qu)除(chu)模型，遍歷控(kong)制(zhi)點(dian)搭(da)建了(le)全(quan)局(ju)材料去(qu)除(chu)模型矩(ju)陣，建立了(le)駐留時間求解線性(xing)方(fang)程(cheng)組. 以(yi)加工余量最(zui)小化作為(wei)(wei)目標函數，引入帶有阻尼因子(zi)的(de) Tikhonov 正則化，求解駐留時間分布并轉化為(wei)(wei)進(jin)給速度，仿真表明余量有效去(qu)除(chu)達到93.6%.

       3）在課題組(zu)自行(xing)搭建的(de)機器人砂帶磨削(xue)平(ping)臺(tai)上(shang)開展了葉(xie)片前(qian)緣磨削(xue)實驗(yan)，結(jie)果(guo)表明，磨削(xue)后的(de)葉(xie)片前(qian)緣輪廓(kuo)線(xian)基本在+0.03~-0.05 mm 的(de)公(gong)差帶之(zhi)間，與理論模型之(zhi)間的(de)型面誤差E在0.02 mm以內(nei)，證明了本文所提方法能夠實現(xian)葉(xie)片前(qian)緣的(de)精準加工(gong).